Алексей Алексеевич родился в г. Омске в 1955 году. После окончания школы, работал на заводе имени Баранова, откуда был призван на службу в армию. Далее Алексей Лапин поступил в Омскую высшую школу милиции.
В 1980 году окончил Омскую высшую школу МВД СССР и начал службу в органах внутренних дел Первомайского райисполкома г. Краснодара в должности инспектора уголовного розыска. С должности начальника одного из райотделов милиции УВД Краснодарского края он в 1991 году поступил в Академию МВД России. После окончания академии с 1993 по 2001 г. продолжил службу в Краснодарском крае.
В 2001 году Алексей Лапин был назначен на должность первого заместителя начальника ГУВД Волгоградской области — начальника криминальной милиции.
В 2002 году стал генерал-майором милиции и защитил ученую степень «кандидат юридических наук».
С 2002 по 2004 г. являлся министром внутренних дел Карачаево-Черкесской Республики.
С 2007 по 2010 гг. - начальник УВД по Хабаровскому краю.
В июле 2010 г. назначен на должность начальника ГУВД по Ростовской области.
Алексей Алексеевич женат, воспитывает двоих детей.